Geometrías no euclidianas

La historia de la aparición de las Geometrías No-Euclidianas, corresponde a una época revolucionaria en la historia de la Matemática, no solamente porque estas geometrías se desarrollaron prácticamente en el aire, sin un apoyo en la "realidad" de ese momento, sino porque, también, su aparición cuestiona lo que es un sistema axiomático, lo que es un axioma independiente y lo que significa la consistencia de una teoría matemática. Estas preguntas estaban presentes en el momento de la crisis de los fundamentos de la Matemática (a finales del Siglo XIX y comienzos del XX) y darían comienzo, un poco más adelante, a la estructuración de la Lógica Matemática.

La Estática, la Mecánica Celeste, la Geodesia, el Cálculo Diferencial, la Geometría Analítica estaban apoyadas cómodamente sobre la Geometría Euclidiana. Una base aparentemente firme y sólida como para sostener prácticamente todos los conocimientos matemáticos de la época. Nada estaba más lejos de la realidad. El quinto postulado estaba en equilibrio inestable. Y es, precisamente, esta inestabilidad la que permitiría el surgimiento de las Geometrías No-Euclidianas.

El quinto postulado

 “Si una recta que corte a otras dos, forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma sea menor que dos rectos”

El quinto postulado ha sido el controversial. Es diferente de los otros porque no se puede verificar empíricamente si dos rectas se cortan, ya que solo podemos trazar segmentos y no las rectas completas.

Podemos extender los segmentos cada vez más lejos para ver si se cortan en algún punto, pero no se pueden extender infinitamente. Con ese postulado, Euclides ofreció una formulación de este asunto fundamental que es el paralelismo.

Tiempo después se demostraría que este quinto postulado, tal y como lo planteó Euclides, es equivalente a afirmar que por un punto externo a una recta dada solo pasa una paralela.

Ahora vamos a conocer un poco sobre algunas geometrías:

Geometría Analítica

La Geometría Analítica conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa. Muchos matemáticos hicieron algunos avances en esta relación entre el álgebra y la geometría durante la época de Giovani di Casoli, Nicole Oresme (c. 1323-1382) y el mismo Galileo que habían tratado de establecer representaciones gráficas de conceptos como los de tiempo, rapidez, distancia y velocidad; sin embargo, fue René Descartes quien dio el impulso definitivo en esta dirección a la geometría. Cabe recalcar que Descartes es considerado el primer filósofo moderno y, por eso mismo, debe interpretarse que la geometría analítica corresponde al espíritu de lo que ya es; una nueva era en el desarrollo de la sociedad occidental.

René Descartes

                                          

La obra de Descartes es auténticamente revolucionaria. Podemos decir que el método que él proponía se reduce a tres pasos:

1- La expresión de un problema geométrico en forma algebraica.

2- Resolución de las ecuaciones algebraicas que corresponden al problema geométrico.

3- Construir o interpretar geométricamente lo que planteaba la solución.

Se dice que Descartes buscaba liberar a la geometría del exceso de figuras, pero también buscaba darle sentido o significado al álgebra por medio de la geometría. Por otro lado Descartes fue revolucionario al establecer que una curva se construía con solamente ofrecer una ecuación algebraica. Recordemos que en la Antigüedad para que una curva existiera era necesario que hubiera un procedimiento con regla y compás para poderla construir.

Geometría proyectiva

Un campo de la geometría que también posee importancia fue el estudio de las propiedades proyectivas de las figuras, lo que se suele llamar como la Geometría Proyectiva. Puede encontrarse trazos de ésta en Pascal y Desargues, y se puede señalar como referencia la obra desarrollada primeramente por Gaspard Monge (1746-1818), quien fue director de la Ecole Polytechnique en Francia y que, muchas veces, se caracteriza como el primer especialista moderno de la geometría. Monge publicó su libro Géométrie descriptive, que condensaba sus lecciones en la Ecole Normale entre 1794 y 1795, que utilizaba proyecciones.

Victor Poncelet

Fue, sin embargo, un discípulo de Monge, Jean Victor Poncelet (1788-1867), quien realmente hizo una gran sistematización de estas propiedades proyectivas de las figuras (Applications d'analyse et de géométrie 1813-1814, Traité des propietés projectives des figures , 1822).

En Francia, Michel Chasles (1793-1880) continuó la obra de Poncelet (Traité de géométriesupériure, 1852).

En Alemania, Jakob Steiner (1796-1863) también hizo geometría proyectiva (Systematische Entwicklungen, 1832). Tiempo después, el alemán K. G. C. von Staudt (1798-1867) construyó la geometría proyectiva sin usar magnitudes ni números (en su obra Geometrie der Lage, 1847).

Estos trabajos también tuvieron un impacto importante en las matemáticas del siglo XIX.

Geometría diferencial

En matemática, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciales (tal y como la topología diferencial) tanto como las nociones de conexión y curvatura (que no se estudia en la topología diferencial).

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 en la ciudad alemana de Brunswick, y se educó en la Universidad de Göttingen. Gauss produjo resultados del más alto nivel en casi todos los campos de las matemáticas puras y aplicadas. Su trabajo le valió el título de "Príncipe de los matemáticos'', y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia.

Hizo contribuciones notables a lo que se llama geometría diferencial, que se sintetizaron en el libro Disquisitiones generales circa Superficies Curvas (1827). Este libro fue el resultado de sus investigaciones en geodesia y construcción de mapas. En el mismo realizó un tratamiento definitivo de la geometría diferencial de superficies en espacios de 3 dimensiones. Gauss formuló el concepto de una superficie como un espacio en sí mismo. Además realizó aportes en álgebra, funciones complejas y teoría del potencial.

Geometría esférica

La geometría esférica es la geometría de la superficie bi-dimensional de una esfera. Es un ejemplo de geometría no euclídea.

En geometría plana los conceptos básicos son el punto y la línea. En la esfera, los puntos están definidos en el sentido usual. Los equivalentes de las líneas no están definidos en el sentido usual de la "línea recta" sino en el sentido de "las trayectorias más cortas entre los puntos", lo cual es llamado geodésica. En la esfera los geodésicos son los grandes círculos, así que los otros conceptos geométricos son definidos como en la geometría plana pero con las líneas sustituidas por los grandes círculos. Así, en geometría esférica los ángulos están definidos entre los grandes círculos, resultando en una trigonometría esférica que diferencie de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos (por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo excede los 180 grados).

La geometría esférica es el modelo más simple de la geometría elíptica, en la cual una línea no tiene ninguna línea paralela a través de un punto dado. En contraste con la geometría hiperbólica, en la cual una línea tiene dos paralelas, y un número infinito de ultra-paralelos, a través de un punto dado.

La geometría esférica tiene importantes aplicaciones prácticas en la navegación y la astronomía. Una geometría importante relacionada con la modelada por la esfera es llamada plano proyectivo real, y es obtenida identificando las antípodas en la esfera (pares de puntos opuestos). Localmente, el plano proyectivo tiene todas las propiedades de la geometría esférica, pero tiene diferentes características globales.

Referencias bibliográficas

Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas: Una breve historia de una gran revolución               intelectual. (1 ed). San José, C.R: Editorial de la Universidad de Costa Rica.

págs 29-31; 47-48; 70; 93-95.

Tejada, D. (2003). Geometrías No-Euclidianas. Universidad Nacional de Colombia. pág. 145; Recuperado de:    http://www.bdigital.unal.edu.co/7932/1/32504397._2003.pdf

Wikipedia. (2014). Geometría esférica. Recuperado de http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_esf%C3%A9rica