Aprendiendo matemática

El álgebra y sus ramas de estudio

El Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de los números u objetos concretos. A lo largo de la historia de la humanidad esta ciencia ha ido evolucionando, y cada civilización y cada cultura con sus características propias han dejando un legado testimonial escrito del que en la actualidad somos herederos (Lorente).

Su proceso suele dividirse en:

a) “Álgebra retórica”: no existen abreviaturas, ni símbolos especiales. Los problemas se describen en su totalidad a base de palabras. Época paleobabilónica entre 2000 y 1600 a. n. e.

b) “Álgebra sincopada”: este término lo ideó Nesselman en 1842. Se usan ya algunos términos técnicos y abreviaturas. Ejemplo la Aritmética de Diofanto. Siglo III.

c) “Álgebra simbólica”: Es ya un álgebra mucho más parecida a la que usamos en la actualidad con símbolos especiales, incógnitas, etc... Siglos XVI y XVII, Vièta.

Por otra parte el álgebra es una de las partes anchas de la matemática, junto con la teoría de números, la geometría y el análisis. Como tal, incluye todo, desde la resolución de la ecuación elemental al estudio de abstracciones tales como grupos, anillos y campos.

Algunas ramas básicas del álgebra son:

Álgebra elemental

Incluye los conceptos básicos de álgebra, que es una de las ramas principales de las matemáticas. Mientras que en la aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números

(como

x, y, a y b). Éstos se denominan variables, incógnita, coeficientes, índices o raíz, según el caso. El término álgebra elemental se usa para distinguir el campo del álgebra abstracta, la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas.

Álgebra abstracta

Es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas.

En el álgebra abstracta los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebra abstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basa toda la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.

Álgebra lineal

Es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc...

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

OTRAS RAMAS DEL ÁLGEBRA POCO CONOCIDAS

Álgebra computacional

En matemáticas y ciencias de la computación, el álgebra computacional , también llamado cálculo simbólico o cálculo algebraico es un área científica que se refiere al estudio y desarrollo de algoritmos y software para la manipulación de expresiones matemáticas y otros objetos matemáticos .

Alrededor de 1970, el álgebra computacional, cuando los conocidos algoritmos fueron puestos en los equipos, que resultaron ser altamente ineficientes, una gran parte de la labor de los investigadores en el campo consistió en revisar el álgebra clásica con el fin de hacer más efectiva y descubrir algoritmos eficientes para implementar esta eficacia. Un ejemplo típico de este tipo de trabajo es el cálculo del máximo común divisor de polinomios , que se requiere para simplificar fracciones. Por otro lado el Álgebra computacional es ampliamente utilizado para experimentar en Matemáticas y diseñar las fórmulas que se utilizan en los programas numéricos. También se usa para cálculos científicos completos, cuando los métodos puramente numéricos fallan, como en la criptografía de clave pública o para algunos problemas no lineales .

Álgebra homológica

El álgebra Homológica comenzó a ser estudiada en su forma más básica en la década de 1800 como una rama de la topología, pero no fue hasta la década de 1940 que se convirtió en una asignatura independiente con el estudio de los objetos, como el funtor ext y el funtor tor , entre otros.

Es la rama de las matemáticas que estudia homología en un entorno algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes se remontan a las investigaciones en la topología combinatoria (un precursor de la topología algebraica ) y el álgebra abstracta (teoría de módulos) al final del siglo XIX, principalmente por Henri Poincaré y David Hilbert .

El desarrollo del álgebra homológica está estrechamente entrelazado con la aparición de la teoría de categorías. En general, el álgebra homológica es el estudio de homológicos funtores(En matemática , un funtor es un tipo de correspondencia entre las categorías , que se aplica en la teoría de categorías . Los Functors pueden ser considerados como los homomorfismos entre categorías) y las estructuras algebraicas complejas. Desde sus orígenes, el álgebra homológica ha jugado un papel muy importante en la topología algebraica. Su ámbito de influencia se ha ampliado gradualmente y en la actualidad incluye álgebra conmutativa, geometría algebraica , la teoría algebraica de números , teoría de la representación, la física matemática, álgebras de operadores, análisis complejo, y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales .